圏論はどうあるのか、圏論をどう取り扱うべきか、について

圏の代表例として、集合の圏Setsがある。

この圏は、圏という対象としては、ZFC上で扱えない。(なぜなら、集合全体Vは真のクラスとなるからである)

すなわち、「これが、集合の圏である」とZFC上で述べることは出来ない。

しかし、集合全体は集合論の言語{}の論理式""によって記述することが出来る。XからYへの写像全体もまた、少々長いが、

と書くことが出来る。

また、他の具象圏(Setsの部分圏、もしくは一般にSetsへの忠実関手を持つような圏のこと。ここでは、前者のみを言うことにする)についても、何らかの論理式によって記述できる。

そのため、論理式を対象として扱うことが出来れば、「これこれが圏である」と記述することが出来るだろう。

一方で、この圏と集合を同列に扱いたい、という気持ちがある。すなわち、論理式と集合を同じレベルで扱いたい。

しかし、この解決策は完全には確立していない。

一つの発想として、集合は論理式で記述できる。よって、同列に扱うことは可能だろう。

また、圏がスモール、局所スモールという性質も記述したい。これは、選択公理を仮定すれば濃度を持ち出すことで、記述できるだろうか。

さらに、一般に圏は具象圏ではない。これもまた、一つの問題である。これも、論理式を持って対象を増やせば、解決できるだろうか。

以上、少々バラバラの文章を読んでいただきありがとうございます。

何かあれば、コメントをお願いします。

では。

(何か、進展があれば続く)

このブログについて

初めましての方は初めまして。

そうでない方はこんばんは。

そのどちらでもない直感主義者は、どうぞお帰りください。

太郎です。

まずは、自己紹介を。

某大学の数学科で勝手に数学基礎論を学んでいる者です。

専門はモデル理論で、最近は圏論的なロジックに興味を持ってます。

ここでは、ふと思いついた基礎論とか圏論とか数学哲学の話を、思いつくままに言葉にしようという場です。

内容はややガバガバになる可能性があるので、緩ーく見てください。

何かご意見等があれば、是非コメントに。

以上、よろしくお願いします。